Сила, которая роняет яблоко на землю, удерживает на орбите и Луну — это великое открытие Ньютона. Закон всемирного тяготения объединил земные и небесные явления: падение тел, приливы в океанах, движение планет, искусственные спутники и космические полёты объясняются одним законом. Тема объединяет знания о законах Ньютона и движении по окружности.
§1. Закон всемирного тяготения
Анализируя движение Луны, Ньютон (1687) пришёл к выводу, что сила, притягивающая её к Земле, той же природы, что и сила, действующая на яблоко, и сформулировал общий закон:
F = G·m₁m₂/r², G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг²
Любые два тела притягиваются; сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Формула точна для точечных тел и однородных шаров; для шара r — расстояние между центрами.
Силы тяготения подчиняются третьему закону Ньютона: с какой силой Земля притягивает яблоко, с такой же яблоко притягивает Землю.
G очень мала, поэтому притяжение обычных тел незаметно. Впервые её измерил в лаборатории Кавендиш (1798) с помощью крутильных весов.
При увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в 4 раза, в 3 раза — в 9 раз.
Пример
Луна находится в 3,84·10⁸ м (около 60 радиусов Земли) от центра Земли и делает оборот за 27,3 суток. Найдите её центростремительное ускорение и сравните с g/60².
T = 27,3·86 400 ≈ 2,36·10⁶ с.
a = 4π²r/T² = 4·9,87·3,84·10⁸/(2,36·10⁶)² ≈ 0,0027 м/с².
g/3600 = 9,8/3600 ≈ 0,0027 м/с² — совпадает; именно таким расчётом Ньютон проверял закон.
§2. Ускорение свободного падения
Сила тяжести у поверхности Земли — это сила притяжения Земли: mg = GMm/R². Отсюда:
g = GM/R², на высоте h: g_h = GM/(R + h)² = g·R²/(R + h)²
g не зависит от массы тела — поэтому без воздуха все тела падают одинаково.
На высоте, равной радиусу Земли (h = R), g в 4 раза меньше. А на вершине самой высокой горы (около 8,8 км) g меньше всего примерно на 0,3 % — поэтому у поверхности Земли g можно считать постоянным.
На полюсе g немного больше, чем на экваторе: Земля сплюснута у полюсов и вращается.
На другой планете g зависит от её массы и радиуса: g′/g = (M′/M)·(R/R′)².
Эта формула позволила «взвесить» Землю: M = gR²/G.
Пример
Каково g на планете, масса и радиус которой в 2 раза больше земных?
g′ = G·2M/(2R)² = (2/4)·GM/R².
g′ = g/2 = 5 м/с².
Пример
По g = 10 м/с² и R = 6,4·10⁶ м найдите массу Земли.
M = gR²/G = 10·(6,4·10⁶)²/(6,67·10⁻¹¹).
M ≈ 6,1·10²⁴ кг (точное значение ≈ 6·10²⁴ кг).
§3. Искусственные спутники и космические скорости
На спутник на круговой орбите действует только тяготение, и оно сообщает центростремительное ускорение: GMm/r² = mv²/r.
Орбитальная скорость: v = √(GM/r), период: T = 2πr/v
Первая космическая скорость — скорость движения по круговой орбите у поверхности Земли:
v₁ = √(gR) = √(9,8·6,4·10⁶) ≈ 7,9 км/с
Вторая космическая скорость — наименьшая скорость, чтобы преодолеть притяжение Земли и навсегда удалиться от неё:
v₂ = √2·v₁ ≈ 11,2 км/с
Третья космическая скорость (выход из Солнечной системы) ≈ 16,7 км/с. С ростом радиуса орбиты орбитальная скорость уменьшается, а период растёт. Геостационарный спутник обращается над экватором с периодом вращения Земли (≈ 24 ч) на высоте около 36 000 км и с Земли кажется «висящим» на месте — так работают спутники связи и телевидения. Первый искусственный спутник запущен 4 октября 1957 года.
Пример
Масса планеты в 4 раза больше земной, радиус — в 2 раза. Первая космическая скорость?
v₁ = √(GM/R) → v₁′/v₁ = √(4/2) = √2.
v₁′ = √2·7,9 ≈ 11,2 км/с.
§4. Законы Кеплера
Кеплер (начало XVII века) по наблюдениям Тихо Браге нашёл три закона движения планет; позже Ньютон вывел их из закона тяготения.
Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади — вблизи Солнца планета движется быстрее.
Отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси орбиты одинаково для всех планет:
T₁²/T₂² = a₁³/a₂³
Для круговой орбиты третий закон записывается как T² = 4π²r³/(GM) — он зависит только от массы центрального тела.
Пример
Большая полуось орбиты Марса в 1,52 раза больше земной. Сколько земных лет длится марсианский год?
T_М²/T_З² = (1,52)³.
T_М = 1,52^1,5 ≈ 1,87 земного года.
§5. Невесомость и энергия тяготения
Космонавт на орбите невесом: и он, и корабль под действием одного лишь тяготения свободно «падают» с одинаковым ускорением, поэтому космонавт не давит на пол корабля. Тяготение не исчезло — именно оно удерживает орбиту. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел:
E_п = −GMm/r
На бесконечности E_п = 0, при сближении энергия становится отрицательной и меньше. Из этой формулы следует вторая космическая скорость: mv₂²/2 − GMm/R = 0 → v₂ = √(2GM/R) = √2·v₁. Для малых высот у поверхности Земли формула переходит в знакомую mgh.
§6. Проявления тяготения
Приливы и отливы: Луна сильнее притягивает ближнюю к ней сторону Земли и слабее — дальнюю. Эта разница создаёт в океане два «горба», и по мере вращения Земли во многих местах вода поднимается дважды в сутки. Солнце тоже вносит вклад, но его действие примерно вдвое слабее лунного.
Шарообразность планет и звёзд: у больших тел собственное тяготение стягивает вещество к центру и придаёт им форму шара.
Обычные тела: притяжение между ними настолько мало, что его замечают только очень чувствительные приборы.
Пример
Два корабля массой по 50 000 т находятся на расстоянии 1 км. С какой силой они притягиваются?
m = 5·10⁷ кг, r = 10³ м.
F = Gm²/r² = 6,67·10⁻¹¹·(5·10⁷)²/10⁶ ≈ 0,17 Н — в миллиарды раз меньше веса кораблей.
Проверьте себя
Расстояние между двумя телами уменьшили в 3 раза. Как изменится сила притяжения?
Ускорение свободного падения на высоте h = R?
g на планете с массой Земли и вдвое меньшим радиусом?
Первая космическая скорость 7,9 км/с. Вторая?
Радиус орбиты увеличили в 4 раза. Как изменится орбитальная скорость?
Массы 1 кг и 1 кг на расстоянии 1 м. Сила притяжения?
Полуось орбиты планеты в 4 раза больше. Во сколько раз больше период?
Действует ли на космонавта на орбите сила тяготения?
Типичные ошибки
Отсчитывать r от поверхности: расстояние берут от центра, r = R + h.
Забывать, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, а не расстоянию.
Думать, что на орбите нет тяготения: невесомость — не отсутствие тяготения.