Квантовая физика и фотоэффект

В начале XX века физика открыла двойственную природу света: в интерференции и дифракции он ведёт себя как волна, а при излучении и поглощении — как поток отдельных порций энергии, квантов (фотонов). Самое яркое доказательство — фотоэффект. На нём основаны солнечные панели, фотоэлементы, матрицы цифровых камер и автоматические двери.

§1. Гипотеза Планка и фотон

В 1900 году Планк, чтобы объяснить излучение нагретых тел, предположил, что энергия испускается не непрерывно, а порциями. Эйнштейн (1905) добавил, что свет и распространяется, и поглощается такими порциями. Эта частица — фотон.

• Фотон всегда движется со скоростью c, его масса покоя равна нулю.
• В микромире энергию удобно измерять в электронвольтах: 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.
• Давление света объясняется импульсом фотонов (опыт Лебедева).

Пример

Энергия и импульс фотона с λ = 500 nm?

1. E = hc/λ = 6,63·10⁻³⁴·3·10⁸/5·10⁻⁷ ≈ 3,98·10⁻¹⁹ J.
2. В электронвольтах: 3,98·10⁻¹⁹/1,6·10⁻¹⁹ ≈ 2,5 eV.
3. p = h/λ = 6,63·10⁻³⁴/5·10⁻⁷ ≈ 1,33·10⁻²⁷ kg·m/s.

Пример

Сколько фотонов в секунду испускает лазер мощностью 1 mW с λ = 663 nm?

1. Один фотон: E = 6,63·10⁻³⁴·3·10⁸/6,63·10⁻⁷ = 3·10⁻¹⁹ J.
2. N = Pt/E = 10⁻³·1/3·10⁻¹⁹ ≈ 3,3·10¹⁵.

Зачем понадобилась идея квантов? Классическая теория предсказывала для излучения нагретого тела бесконечно большую энергию в области коротких волн («ультрафиолетовая катастрофа»), а опыт этого не подтверждал. Планк, предположив, что энергия излучается порциями E = hν, получил формулу, полностью согласующуюся с опытом. Квант очень мал, поэтому в обычной жизни энергия кажется непрерывной: источник видимого света мощностью 1 Вт испускает больше 10¹⁸ фотонов в секунду.

§2. Фотоэффект и его законы

Внешний фотоэффект — вырывание электронов из вещества (обычно металла) под действием света. Его наблюдал Герц (1887), подробно экспериментально исследовал Столетов. Законы фотоэффекта:

1. Ток насыщения (число вырванных за секунду электронов) пропорционален интенсивности света.
2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности, а линейно растёт с частотой света.
3. Для каждого вещества есть красная граница: при меньшей частоте (большей длине волны) фотоэффекта нет вовсе.
4. Фотоэффект практически безынерционен — начинается сразу при освещении.

Волновая теория не объясняет 2-й и 3-й законы: по ней более яркий свет должен давать электронам больше энергии.

§3. Уравнение Эйнштейна

Энергия фотона передаётся одному электрону: часть идёт на вырывание его из металла (работа выхода A), остаток — на кинетическую энергию:

Работа выхода зависит только от металла (обычно 2–5 eV).

Пример

На металл с работой выхода 2 eV падает свет λ = 400 nm. Кинетическая энергия, задерживающее напряжение и красная граница?

1. Энергия фотона: E = 6,63·10⁻³⁴·3·10⁸/4·10⁻⁷ ≈ 4,97·10⁻¹⁹ J ≈ 3,1 eV.
2. E_k = 3,1 − 2 = 1,1 eV, значит U_з = 1,1 V.
3. λ₀ = hc/A = 1,989·10⁻²⁵/(2·1,6·10⁻¹⁹) ≈ 6,2·10⁻⁷ m = 620 nm.

Пример

На металл с красной границей ν падает свет частоты 5ν, на металл с красной границей 2ν — частоты 4ν. Отношение кинетических энергий?

1. E₁ = 5hν − hν = 4hν, E₂ = 4hν − 2hν = 2hν.
2. E₁/E₂ = 2.

Пример

Наименьшая частота, при которой начинается фотоэффект у металла с работой выхода 2,5 eV?

1. A = 2,5·1,6·10⁻¹⁹ = 4·10⁻¹⁹ J.
2. ν₀ = A/h = 4·10⁻¹⁹/6,63·10⁻³⁴ ≈ 6·10¹⁴ Hz.

График E_k(ν) — прямая: её наклон равен h, а ось частот она пересекает в точке ν₀; это экспериментальное подтверждение уравнения Эйнштейна.

§4. Корпускулярно-волновой дуализм

Свет обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами. Де Бройль (1924) предположил, что это свойство всех частиц:

Дифракция электронов подтвердила эту идею; на ней основан электронный микроскоп.

Волновые свойства электрона подтвердили Дэвиссон и Джермер (1927), наблюдая дифракцию электронов на кристалле. Для макроскопических тел длина волны ничтожна: у мяча массой 0,1 кг при скорости 10 м/с λ = h/(mv) = 6,63·10⁻³⁴/1 ≈ 6,6·10⁻³⁴ м — её не заметит никакой прибор, поэтому волновые свойства проявляются только в микромире.

Внутренний фотоэффект — появление свободных носителей заряда в полупроводнике под действием света (фоторезистор, солнечная батарея).

Пример

Длина волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью 10⁶ m/s?

1. λ = 6,63·10⁻³⁴/(9,1·10⁻³¹·10⁶).
2. λ ≈ 7,3·10⁻¹⁰ m ≈ 0,73 nm — порядок рентгеновских лучей.

§5. Применение фотоэффекта и давление света

Внешний фотоэффект используют в вакуумных фотоэлементах: электроны, вылетающие из освещённого катода, создают ток в цепи. Такие элементы в автоматических дверях, турникетах метро и охранной сигнализации «замечают», что луч света перекрыт. Фотоэлектронные умножители регистрируют очень слабый свет, вплоть до отдельных фотонов.

Внутренний фотоэффект происходит в полупроводниках: фотон освобождает связанный электрон, и проводимость растёт. На нём основаны фоторезисторы, фотодиоды, матрица цифровой камеры и солнечные батареи. В солнечной батарее p-n-переход разделяет возникшие заряды и прямо даёт ЭДС; КПД современных кремниевых панелей обычно 15–22 %.

Давление света. Фотоны обладают импульсом, поэтому, падая на поверхность, давят на неё. Впервые давление света измерил П. Н. Лебедев (1899–1900). Если свет интенсивностью I (Вт/м²) полностью поглощается:

Давление очень мало, но с ним связаны направленность хвостов комет от Солнца и идея «солнечного паруса».

Пример

На орбите Земли интенсивность солнечного излучения I ≈ 1370 Вт/м². Каково давление света на чёрную (полностью поглощающую) поверхность? Какую мощность даёт панель площадью 1 м² с КПД 20 % при I = 1000 Вт/м²?

1. Давление: p = I/c = 1370/(3·10⁸) ≈ 4,6·10⁻⁶ Па — примерно в 10¹⁰ раз меньше атмосферного.
2. Мощность панели: P = η·I·S = 0,2·1000·1 = 200 Вт.

Проверьте себя

1. Энергия фотона частотой 5·10¹⁴ Hz?

2. Работа выхода 4,5 eV. Длина волны красной границы?

3. Фотоны 6 eV падают на металл с работой выхода 4 eV. Задерживающее напряжение?

4. Интенсивность света увеличили вдвое, частота прежняя. Что изменится?

5. Импульс фотона с λ = 663 nm?

6. На металл с работой выхода 3 eV падают фотоны 2,5 eV. Будет ли фотоэффект?

7. Свет интенсивностью 600 Вт/м² падает перпендикулярно на зеркальную поверхность и полностью отражается. Давление?

8. В каких веществах наблюдается внутренний фотоэффект?

Типичные ошибки

• Думать, что от более яркого света растёт энергия электронов (растёт их число).
• Смешивать электронвольты и джоули (1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J).
• Считать, что фотоэффект идёт и при частоте ниже красной границы: не идёт.
• Забывать переводить nm в метры.
• Приравнивать кинетическую энергию к hν: нужно вычесть работу выхода.