Волновая оптика: интерференция, дифракция

Свет — электромагнитная волна, поэтому ему присущи волновые явления: интерференция, дифракция, дисперсия и поляризация. Радужная окраска мыльного пузыря, цветные полосы на компакт-диске, радуга и поляризационные очки объясняются волновой оптикой. Геометрическая оптика (лучи) эти явления объяснить не может.

§1. Интерференция света

Интерференция — устойчивое чередование светлых (максимумы) и тёмных (минимумы) областей при сложении когерентных волн.
Когерентные волны — волны одинаковой частоты с постоянной во времени разностью фаз. Две отдельные лампы не когерентны, поэтому когерентные пучки получают разделением света одного источника.

Результат зависит от разности хода Δ:

k = 0, 1, 2, ...

Пример

Разность хода двух когерентных волн 1,5 μm. Что наблюдается при λ = 500 nm и λ = 600 nm?

1. Δ/λ = 1,5·10⁻⁶/5·10⁻⁷ = 3 — целое число, максимум.
2. Δ/λ = 1,5·10⁻⁶/6·10⁻⁷ = 2,5 — нечётное число полуволн (5), минимум.

§2. Опыт Юнга и тонкие плёнки

В опыте Юнга две узкие щели, освещённые одним источником, служат когерентными источниками. На экране получаются светлые и тёмные полосы, расстояние между ними:

L — расстояние от щелей до экрана, d — расстояние между щелями.

Интерференция в тонких плёнках: свет отражается от верхней и нижней поверхностей плёнки, и два пучка складываются. Этим объясняется окраска мыльных пузырей и масляных пятен на воде, кольца Ньютона. Просветление оптики: на линзу наносят плёнку толщиной λ/(4n), отражённые лучи гасят друг друга, и проходящий свет усиливается.

Пример

d = 0,5 mm, L = 1 m, λ = 500 nm. Расстояние между полосами?

1. Δx = 5·10⁻⁷·1/(5·10⁻⁴).
2. Δx = 10⁻³ m = 1 mm.

§3. Дифракция света

Дифракция — огибание волнами препятствий, проникновение в область геометрической тени. Она заметна, когда размер препятствия или щели сравним с длиной волны. Длина волны света очень мала (~0,5 μm), поэтому в быту дифракция света малозаметна, а звук (~1 m) слышен и из-за стены.

Принцип Гюйгенса–Френеля: каждая точка фронта волны — источник вторичных когерентных волн, которые интерферируют. Дифракция ограничивает разрешающую способность микроскопа и телескопа.

§4. Дифракционная решётка

Дифракционная решётка — множество одинаковых параллельных щелей. Период решётки d — расстояние между соседними щелями; если на 1 mm приходится N штрихов, d = 1/N mm.

• k — порядок спектра; так как sin φ ≤ 1, то k ≤ d/λ.
• Белый свет разлагается в спектр: центральный максимум белый, в остальных ближе всего к центру фиолетовый, дальше всего красный (больше λ — больше угол).

Пример

d = 2·10⁻⁶ m, λ = 500 nm. Направление на максимум первого порядка и наибольший порядок?

1. sin φ₁ = λ/d = 5·10⁻⁷/2·10⁻⁶ = 0,25, φ₁ ≈ 14,5°.
2. k ≤ d/λ = 4. При k = 4 угол φ = 90° — такой максимум на экран не попадает, поэтому реально наблюдаются порядки до 3-го (в тестах часто принимают k_max = d/λ = 4 — читайте условие внимательно).

Пример

У решётки 100 штрихов на 1 mm, максимум второго порядка наблюдается при sin φ = 0,1. Длина волны?

1. d = 1/100 mm = 10⁻⁵ m.
2. λ = d·sin φ/k = 10⁻⁵·0,1/2 = 5·10⁻⁷ m = 500 nm.

§5. Дисперсия и поляризация

Дисперсия — зависимость показателя преломления от длины волны. В стекле n больше для фиолетового света и меньше для красного. Поэтому призма разлагает белый свет в спектр, и фиолетовый преломляется сильнее всего, красный — слабее (опыт Ньютона). Радуга — дисперсия в каплях воды.

Поляризация — упорядочение колебаний E⃗ в одной плоскости. Естественный свет не поляризован; поляроид пропускает колебания одного направления и ослабляет интенсивность вдвое. При повороте второго поляроида (анализатора) свет меняется: I = I₁·cos² φ (закон Малюса). Поляризация доказывает, что свет — поперечная волна.

§6. Волновая оптика на практике: компакт-диск и измерение длины волны

Цветные полосы на компакт-диске (CD), упомянутые во вступлении, — бытовой пример дифракционной решётки. Информация на диске записана на спиральной дорожке, расстояние между соседними витками на CD около 1,6 μm. Для отражённого света эти дорожки работают как отражательная решётка, и условие из §4 d·sin φ = kλ остаётся в силе. Каждый цвет белого света усиливается под своим углом, поэтому диск переливается, как радуга. На DVD дорожки плотнее (≈ 0,74 μm), поэтому цвета отклоняются на больший угол, а на диск помещается больше информации.

Ещё один важный практический результат волновой оптики — длину световой волны можно измерить простыми приборами. Если в опыте Юнга измерить Δx, L и d, то λ = Δx·d/L; для решётки λ = d·sin φ/k. В 1801–1803 годах Т. Юнг именно так впервые оценил длины волн разных цветов. Сегодня по этому принципу спектрометры определяют состав веществ.

Пример

Расстояние между дорожками CD 1,6 μm. Найдите угол первого максимума для красного лазера λ = 650 nm и наибольший порядок.

1. sin φ₁ = λ/d = 650/1600 ≈ 0,406 → φ₁ ≈ 24°.
2. d/λ = 1600/650 ≈ 2,46, значит k_max = 2 — видны только максимумы 1-го и 2-го порядков.

Пример

В опыте Юнга d = 0,2 mm, L = 2 m, расстояние между соседними светлыми полосами 6 mm. Длина волны?

1. λ = Δx·d/L = 6·10⁻³·2·10⁻⁴/2.
2. λ = 6·10⁻⁷ m = 600 nm — оранжевый свет.

Проверьте себя

1. Разность хода 2 μm, λ = 400 nm. Максимум или минимум?

2. Разность хода 0,9 μm, λ = 600 nm?

3. Решётка 200 штрихов на 1 mm, λ = 500 nm. sin φ для первого максимума и наибольший порядок?

4. В опыте Юнга длину волны увеличили вдвое. Расстояние между полосами?

5. Толщина просветляющей плёнки (n = 1,25) для 550 nm?

6. Какой цвет отклоняется сильнее в призме и в дифракционной решётке?

7. Расстояние между дорожками DVD 0,74 μm, λ = 650 nm. Угол первого максимума? Есть ли второй порядок?

8. В опыте Юнга d = 0,4 mm, L = 2 m, Δx = 3 mm. Длина волны?

Типичные ошибки

• Не переводить nm в метры (1 nm = 10⁻⁹ m).
• Подставлять число штрихов на 1 mm вместо периода решётки (d = 1/N).
• Записывать условие минимума как Δ = kλ/2: число полуволн должно быть нечётным.
• Путать порядок цветов в призме и в решётке.
• Думать, что некогерентные источники (две лампы) тоже дают интерференцию.
• Путать местами d и L при нахождении λ из формулы Юнга: λ = Δx·d/L, где d — расстояние между щелями.