Линзы и оптические приборы

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими (или одной сферической и одной плоской) поверхностями. Очки, фотоаппарат, микроскоп, телескоп, проектор и даже наш глаз создают изображение с помощью линз. В этой теме научимся строить изображения, применять формулу тонкой линзы с правильными знаками, исправлять дефекты зрения и находить увеличение оптических приборов.

§1. Виды линз и оптическая сила

• Собирающая линза (в середине толще, чем по краям): собирает параллельные лучи в одной точке — главном фокусе. Фокус действительный, F > 0.
• Рассеивающая линза (в середине тоньше): рассеивает параллельные лучи, их продолжения пересекаются в мнимом фокусе, F < 0.

Центр линзы — оптический центр: луч через него не преломляется. Прямая через оптический центр и фокусы — главная оптическая ось. Расстояние от линзы до фокуса — фокусное расстояние F.

Для соприкасающихся линз оптические силы складываются: D = D₁ + D₂.

Пример

Двояковыпуклая стеклянная линза (n = 1,5), радиусы кривизны обеих поверхностей 20 cm. Оптическая сила и фокусное расстояние?

1. D = (1,5 − 1)·(1/0,2 + 1/0,2) = 0,5·10 = 5 dptr.
2. F = 1/D = 0,2 m = 20 cm.

§2. Построение изображений

Для построения достаточно двух из трёх «удобных» лучей:

1. Луч, параллельный главной оси, после линзы проходит через фокус (у рассеивающей — его продолжение выходит из фокуса).
2. Луч через оптический центр не меняет направления.
3. Луч через фокус после линзы идёт параллельно главной оси.

Если пересекаются сами лучи — изображение действительное (его можно получить на экране), если лишь их продолжения — мнимое.

§3. Формула тонкой линзы

• d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения.
• Знаки: у собирающей F > 0, у рассеивающей F < 0; для действительного изображения f > 0, для мнимого f < 0.

Пример

Собирающая линза F = 10 cm, предмет на расстоянии d = 15 cm. Где и какое изображение?

1. 1/f = 1/10 − 1/15 = (3 − 2)/30 = 1/30 → f = 30 cm.
2. Γ = 30/15 = 2.
3. Изображение действительное (f > 0), перевёрнутое, увеличенное в 2 раза.

Пример

Предмет в 40 cm дал мнимое прямое изображение, уменьшенное в 2 раза. Тип линзы и её оптическая сила?

1. Уменьшенное мнимое изображение даёт только рассеивающая линза.
2. Γ = |f|/d = 0,5 → |f| = 20 cm, изображение мнимое, поэтому f = −20 cm.
3. D = 1/0,4 + 1/(−0,2) = 2,5 − 5 = −2,5 dptr.

§4. Изображения в собирающей линзе

• d > 2F — уменьшенное, действительное, перевёрнутое (фотоаппарат, глаз).
• d = 2F — равное, действительное, перевёрнутое, f = 2F.
• F < d < 2F — увеличенное, действительное, перевёрнутое (проектор).
• d = F — изображения нет (лучи выходят параллельно).
• d < F — увеличенное, мнимое, прямое (лупа).

Рассеивающая линза всегда даёт уменьшенное, мнимое, прямое изображение.

§5. Глаз и очки

Глаз — собирающая оптическая система: хрусталик даёт на сетчатке уменьшенное, действительное, перевёрнутое изображение. Приспособление к разным расстояниям за счёт изменения кривизны хрусталика — аккомодация. Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения d₀ = 25 cm.

• Близорукость (миопия): изображение перед сетчаткой — исправляется рассеивающей линзой.
• Дальнозоркость (гиперметропия): изображение за сетчаткой — исправляется собирающей линзой.

Пример

Дальнозоркий человек чётко видит только дальше 50 cm. Какие очки нужны, чтобы читать с 25 cm?

1. Очки должны давать мнимое изображение книги (25 cm) на расстоянии 50 cm: d = 0,25 m, f = −0,5 m.
2. D = 1/0,25 − 1/0,5 = 4 − 2 = +2 dptr (собирающая).

§6. Оптические приборы

• Лупа: предмет внутри фокуса, увеличение Γ = d₀/F.
• Фотоаппарат: d > 2F, уменьшенное действительное изображение на матрице.
• Проектор: F < d < 2F, увеличенное действительное изображение на экране.
• Микроскоп: объектив и окуляр, Γ = Γ_об·Γ_ок.
• Телескоп (труба Кеплера): Γ = F_об/F_ок.

§7. Вывод формулы и система из двух линз

Формулу тонкой линзы можно вывести из подобных треугольников. Пусть высота предмета h, высота изображения H. Луч через оптический центр не преломляется, поэтому верхушки предмета и изображения лежат на одной прямой с центром: H/h = f/d. Луч, параллельный главной оси, проходит через фокус, и из треугольников около фокуса получаем H/h = (f − F)/F. Приравняв, имеем f/d = (f − F)/F, то есть fF = fd − Fd. Разделив обе части на dfF, получаем 1/d = 1/F − 1/f — это и есть 1/F = 1/d + 1/f.

Формула верна для тонкой линзы: толщина линзы много меньше d, f и F, а лучи идут близко к главной оси (параксиальные). Крайние лучи преломляются иначе — это сферическая аберрация; различное преломление лучей разного цвета даёт хроматическую аберрацию.

В системе из нескольких линз расчёт ведут последовательно: изображение, данное первой линзой, служит предметом для второй. Общее увеличение равно произведению увеличений: Γ = Γ₁·Γ₂. На этом принципе работают микроскоп и телескоп.

Пример

Две собирающие линзы с F₁ = 10 cm и F₂ = 20 cm находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Предмет стоит в 15 cm от первой линзы. Где окончательное изображение и каково общее увеличение?

1. Первая линза: 1/f₁ = 1/10 − 1/15 = 1/30 → f₁ = 30 cm, Γ₁ = 30/15 = 2, изображение действительное, перевёрнутое.
2. Это изображение находится в 40 − 30 = 10 cm от второй линзы и служит для неё предметом: d₂ = 10 cm.
3. Вторая линза: 1/f₂ = 1/20 − 1/10 = −1/20 → f₂ = −20 cm (мнимое изображение), Γ₂ = 20/10 = 2.
4. Общее увеличение Γ = 2·2 = 4; окончательное изображение в 20 cm от второй линзы со стороны предмета, мнимое и перевёрнутое относительно исходного предмета.

Проверьте себя

1. Оптическая сила линзы 4 dptr. Фокусное расстояние?

2. F = 20 cm, d = 30 cm. Расстояние до изображения и увеличение?

3. F = 20 cm, d = 10 cm. Какое изображение?

4. Линзы +5 dptr и −2 dptr сложены вплотную. Фокусное расстояние системы?

5. Увеличение лупы с фокусным расстоянием 5 cm?

6. Близорукий человек не видит чётко дальше 50 cm. Оптическая сила очков?

7. Собирающая линза F = 20 cm, предмет на d = 60 cm. Расстояние до изображения и увеличение?

8. Увеличение объектива микроскопа 40, фокусное расстояние окуляра 2,5 cm. Увеличение микроскопа?

Типичные ошибки

• Не ставить минус у f для мнимого изображения.
• Не переводить сантиметры в метры при вычислении D.
• Брать F положительным для рассеивающей линзы.
• Считать, что при d = F изображение есть: лучи выходят параллельно, изображение в бесконечности.
• Путать линзы для близорукости и дальнозоркости: близорукому — рассеивающая, дальнозоркому — собирающая.
• В системе из двух линз брать расстояние до предмета для второй линзы, не учитывая расстояние между линзами.