Геометрическая оптика: отражение и преломление

Геометрическая оптика рассматривает свет как прямолинейные лучи и изучает их отражение и преломление. Такой подход верен, когда препятствия и отверстия намного больше длины волны. Зеркала, перископ, оптоволокно, кажущаяся «мелкой» вода и блеск алмаза — всё объясняется двумя законами этого раздела.

§1. Прямолинейное распространение света

В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. Доказательства — тень и полутень, солнечные и лунные затмения. Пересекающиеся пучки света не мешают друг другу (независимость световых пучков).

Скорость света в вакууме c = 3·10⁸ m/s; в любой среде она меньше. Абсолютный показатель преломления среды:

Для воздуха n ≈ 1, воды n ≈ 4/3, стекла n ≈ 1,5, алмаза n ≈ 2,42. Чем больше n, тем среда оптически плотнее.

По длине тени можно найти высоту: солнечные лучи параллельны, поэтому треугольники, образованные предметом и его тенью, подобны.

Пример

Тень вертикальной палки длиной 1 м равна 0,8 м, а тень дерева в тот же момент — 12 м. Какова высота дерева?

1. Подобные треугольники: H/12 = 1/0,8.
2. H = 12/0,8 = 15 м.

§2. Отражение света

Углы отсчитываются не от поверхности, а от нормали. На гладкой поверхности отражение зеркальное, на шероховатой — рассеянное (диффузное); именно благодаря рассеянному отражению мы видим предметы.

Изображение в плоском зеркале: мнимое, прямое, равное предмету и симметричное ему относительно зеркала.

• При повороте зеркала на угол φ отражённый луч поворачивается на 2φ.
• Если человек приближается к зеркалу со скоростью v, изображение приближается к нему со скоростью 2v.

Пример

Луч составляет с поверхностью зеркала угол 30°. Найдите угол между падающим и отражённым лучами.

1. Угол падения от нормали: α = 90° − 30° = 60°.
2. Угол отражения тоже 60°, значит угол между лучами 60° + 60° = 120°.

§3. Преломление света

При переходе из одной среды в другую свет меняет направление, потому что меняется его скорость.

Почему луч преломляется? По принципу Ферма свет выбирает между двумя точками путь, требующий наименьшего времени. Спасатель на берегу бежит к тонущему не по прямой, а больше по берегу и меньше вплавь — ведь по суше он движется быстрее. Так и свет проходит более длинный путь в среде, где его скорость больше, и более короткий — где меньше; закон Снеллиуса следует именно из этого условия.

• При переходе в оптически более плотную среду луч приближается к нормали (γ < α), в менее плотную — удаляется.
• При переходе в другую среду частота не меняется, скорость и длина волны уменьшаются в n раз: λ = λ₀/n.
• Луч, прошедший плоскопараллельную пластинку, выходит параллельно исходному, лишь смещаясь в сторону.
• Предмет под водой при взгляде сверху по вертикали кажется ближе: h′ ≈ h/n.

Пример

Луч падает из воздуха на стекло (n = √3) под углом 60°. Угол преломления?

1. sin γ = sin 60°/√3 = (√3/2)/√3 = 1/2.
2. γ = 30°.

Пример

Глубина бассейна 2 m (n = 4/3). Какой кажется глубина при взгляде сверху по вертикали?

1. h′ = h/n = 2·3/4.
2. h′ = 1,5 m — бассейн кажется мельче, чем есть.

§4. Полное внутреннее отражение

Когда свет идёт из оптически более плотной среды в менее плотную (n₁ > n₂), угол преломления больше угла падения. При угле падения, равном предельному α₀, угол преломления становится 90°, а при больших углах свет вообще не выходит во вторую среду и полностью отражается.

Применение: оптоволокно (интернет-кабели, эндоскоп), отражательные призмы (бинокль, перископ), блеск алмаза (малый α₀ ≈ 24°).

Пример

Найдите предельный угол для воды (n = 4/3).

1. sin α₀ = 1/n = 3/4 = 0,75.
2. α₀ ≈ 48,6°.

§5. Прохождение света через призму

В треугольной стеклянной призме луч преломляется дважды и отклоняется к основанию призмы. Для призмы с малым преломляющим углом φ угол отклонения:

В прямоугольной равнобедренной призме луч падает на грань-гипотенузу под углом 45°. Для стекла α₀ ≈ 41,8° < 45°, поэтому происходит полное внутреннее отражение и луч поворачивается на 90° — такие призмы заменяют зеркала в перископах и биноклях.

Пример

На сколько отклоняет луч тонкая призма с преломляющим углом 6° и n = 1,5?

1. δ = (1,5 − 1)·6°.
2. δ = 3°.

§6. Дисперсия света

Ньютон (1666) пропустил солнечный луч через призму и получил на экране цветную полосу — спектр: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Выделив один цвет и пропустив его через вторую призму, он не получил новых цветов. Вывод: белый свет — смесь лучей разных цветов, а призма их только разделяет.

Причина — дисперсия: показатель преломления вещества зависит от длины волны (частоты) света. В стекле для фиолетовых лучей n больше, чем для красных, поэтому фиолетовый луч преломляется и отклоняется сильнее всего, а красный — слабее всего. В вакууме все цвета распространяются с одинаковой скоростью, а в веществе красный свет быстрее.

Радуга — тоже результат дисперсии: солнечный свет преломляется, входя в капли дождя, отражается внутри капли и снова преломляется на выходе; каждый цвет выходит под своим углом. Чтобы увидеть радугу, Солнце должно быть позади наблюдателя.

Пример

Для тонкой призмы с преломляющим углом 6° показатель преломления для красного света n = 1,51, для фиолетового n = 1,53. На какой угол растянется спектр?

1. Отклонение красного луча: δ_к = (1,51 − 1)·6° = 3,06°.
2. Отклонение фиолетового луча: δ_ф = (1,53 − 1)·6° = 3,18°.
3. Ширина спектра: 3,18° − 3,06° = 0,12°.

Проверьте себя

1. Скорость света в стекле (n = 1,5)?

2. Человек стоит в 1,5 m от плоского зеркала. Как далеко он от своего изображения?

3. Луч выходит из воды (n = 4/3) в воздух под углом 30°. Угол преломления?

4. Предельный угол для алмаза (n = 2,42)?

5. Рыба на глубине 1,2 m (n = 4/3). На какой глубине она кажется при взгляде сверху?

6. Свет 600 nm вошёл в воду. Как изменятся длина волны и частота?

7. Тень человека ростом 1,8 м равна 1,2 м. Тень башни в этот момент 30 м. Высота башни?

8. Какой цвет сильнее всего отклоняется призмой?

Типичные ошибки

• Отсчитывать углы от поверхности (нужно от нормали).
• Думать, что при преломлении меняется частота.
• Считать, что полное отражение возможно и при переходе из менее плотной среды в более плотную: только из плотной в менее плотную.
• Путать местами n₁ и n₂ в законе Снеллиуса.
• Считать изображение в плоском зеркале действительным: оно мнимое, на экране его не получить.
• Считать, что при дисперсии сильнее отклоняется красный: сильнее всего — фиолетовый.