Магнитное поле и сила Ампера

Магнитное поле — вид материи, существующий вокруг движущихся зарядов и токов. Оно действует только на движущиеся заряды и проводники с током. Благодаря ему работают электродвигатели, динамики, измерительные приборы, ускорители частиц, и даже полярные сияния возникают из-за магнитного поля Земли. В этой теме научимся описывать поле и вычислять силы Ампера и Лоренца.

§1. Магнитное поле и его индукция

В 1820 году Эрстед заметил, что магнитная стрелка рядом с проводником с током поворачивается: ток создаёт магнитное поле. Источники поля — постоянные магниты, токи, движущиеся заряды.

Силовая характеристика поля — вектор магнитной индукции B⃗, единица тесла (T). Линии индукции всегда замкнуты: вне магнита идут от северного (N) полюса к южному (S). Магнитных зарядов (отдельных полюсов) не существует.

Поле прямого тока — концентрические окружности вокруг проводника. Направление — правило буравчика (правой руки): если поступательное движение буравчика совпадает с током, вращение рукоятки показывает направление линий B.

μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A — магнитная постоянная.

Пример

Найдите индукцию на расстоянии 2 cm от длинного провода с током 10 A.

1. B = 4π·10⁻⁷·10/(2π·0,02) = 2·10⁻⁷·10/0,02.
2. B = 10⁻⁴ T = 0,1 mT.

§2. Сила Ампера

Магнитное поле действует на проводник с током:

• l — длина проводника в поле (m), α — угол между током и B⃗.
• При α = 90° сила максимальна, при α = 0 (ток вдоль B) равна нулю.
• Направление — правило левой руки: линии B входят в ладонь, четыре пальца по току, отогнутый на 90° большой палец показывает силу.

Параллельные токи одного направления притягиваются, противоположных — отталкиваются.

Пример

Горизонтальный проводник массой 10 g и длиной 20 cm находится в горизонтальном поле 0,5 T, перпендикулярном проводнику. При каком токе он станет «невесомым»?

1. Равновесие: BIl = mg.
2. I = mg/(Bl) = 0,01·10/(0,5·0,2) = 0,1/0,1 = 1 A.

§3. Момент сил, действующий на рамку с током

Однородное поле поворачивает рамку с током — на этом основан электродвигатель.

• S — площадь рамки (m²), α — угол между B⃗ и нормалью к рамке.
• Когда плоскость рамки параллельна B (α = 90°), момент максимален: M_max = BIS.

Пример

Рамка 2 cm × 3 cm, B = 10 T, I = 2 A. Наибольший момент сил?

1. Площадь: S = 0,02·0,03 = 6·10⁻⁴ m².
2. M_max = 10·2·6·10⁻⁴ = 1,2·10⁻² N·m = 12 mN·m.

§4. Сила Лоренца

Сила, действующая на отдельный заряд, движущийся в поле:

• Направление для положительного заряда — по правилу левой руки (четыре пальца по скорости), для отрицательного — противоположно.
• Сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает: модуль скорости и кинетическая энергия не меняются.
• Если частица влетает перпендикулярно B, она движется по окружности:

Период не зависит от скорости — на этом основан циклотрон.

Пример

Протон (m = 1,67·10⁻²⁷ kg, q = 1,6·10⁻¹⁹ C) влетает со скоростью 10⁶ m/s перпендикулярно полю 0,1 T. Радиус окружности?

1. R = mv/(qB) = 1,67·10⁻²⁷·10⁶/(1,6·10⁻¹⁹·0,1).
2. R = 1,67·10⁻²¹/1,6·10⁻²⁰ ≈ 0,10 m = 10 cm.

Пример

Электрон летит вдоль оси y, на него действует сила в направлении −x. Куда направлено B?

1. F⃗ = qv⃗ × B⃗, для электрона q < 0, значит v⃗ × B⃗ направлено по +x.
2. ŷ × ẑ = x̂, поэтому B⃗ направлено вдоль +z.

§5. Магнитные свойства вещества

Вещество, внесённое в поле, изменяет его; это показывает магнитная проницаемость μ (B = μB₀).

• Диамагнетики (μ < 1, медь, вода) слабо выталкиваются из поля.
• Парамагнетики (μ > 1, алюминий, воздух) слабо втягиваются.
• Ферромагнетики (μ ≫ 1, железо, никель, кобальт) сильно намагничиваются; выше точки Кюри это свойство исчезает.

§6. Взаимодействие параллельных токов и магнитный поток

В §2 сказано, что параллельные токи притягиваются или отталкиваются. Теперь объясним это количественно. Первый провод с током I₁ создаёт в месте второго провода поле B = μ₀I₁/(2πd). Это поле действует на ток I₂ во втором проводе силой Ампера (α = 90°). Объединив формулы, получаем:

По третьему закону Ньютона второй провод действует на первый с такой же силой. Эта формула долго служила для определения единицы ампер: если по двум бесконечно длинным параллельным проводам на расстоянии 1 m текут токи по 1 A, они взаимодействуют с силой 2·10⁻⁷ N на каждый метр. (С 2019 года ампер определяется через элементарный заряд, но числовое значение не изменилось.)

Для следующей темы — электромагнитной индукции — важна величина магнитный поток: она показывает количество линий индукции, «проходящих» через поверхность.

α — угол между B⃗ и нормалью к поверхности. Если поверхность перпендикулярна B (α = 0), поток наибольший: Φ = BS; если поверхность параллельна линиям B, поток равен нулю. При изменении потока в контуре возникает ЭДС — на этом основаны генераторы и трансформаторы.

Пример

Два параллельных провода длиной 1 m находятся на расстоянии 10 cm, по ним в одном направлении текут токи 10 A и 20 A. Сила взаимодействия и её направление?

1. F = μ₀I₁I₂l/(2πd) = 2·10⁻⁷·10·20·1/0,1.
2. F = 4·10⁻⁴ N.
3. Токи сонаправлены — провода притягиваются.

Пример

Квадратная рамка со стороной 10 cm находится в поле B = 0,2 T, нормаль к рамке составляет с B⃗ угол 60°. Магнитный поток?

1. S = 0,1·0,1 = 0,01 m².
2. Φ = 0,2·0,01·cos 60° = 0,2·0,01·0,5.
3. Φ = 10⁻³ Wb = 1 mWb.

Проверьте себя

1. Провод 20 cm, ток 5 A, перпендикулярно B = 0,5 T. Сила Ампера?

2. Тот же провод составляет с B угол 30°?

3. Электрон летит со скоростью 2·10⁷ m/s перпендикулярно полю 10⁻³ T. Сила Лоренца и радиус?

4. Частица летит вдоль линий B. Сила Лоренца?

5. Скорость частицы увеличили вдвое. Как изменятся радиус и период?

6. По двум параллельным проводам токи идут в противоположных направлениях. Как они взаимодействуют?

7. По соленоиду длиной 25 cm из 500 витков течёт ток 2 A. Индукция внутри?

8. Рамка площадью 4 cm² расположена перпендикулярно полю B = 0,5 T. Магнитный поток?

Типичные ошибки

• Забыть обратить результат правила левой руки для электрона (отрицательного заряда).
• Оставлять площадь в cm²: 1 cm² = 10⁻⁴ m².
• В моменте сил отсчитывать α от плоскости рамки, а не от нормали.
• Думать, что сила Лоренца разгоняет частицу: она меняет только направление скорости.
• Терять sin α в силе Ампера и забывать, что угол — между током и B.
• Брать в формуле магнитного потока угол между плоскостью рамки и B: угол отсчитывают от нормали.