Свойства жидкостей и твёрдых тел

Поверхность жидкости ведёт себя как «натянутая плёнка», а твёрдые тела сопротивляются растяжению и расширяются при нагревании. Эти свойства объясняют подъём воды в капиллярах, прочность мостов, зазоры между рельсами. Причина у них одна — силы взаимодействия между молекулами. В газе молекулы далеко друг от друга и почти не взаимодействуют, в жидкости они расположены плотно, но могут меняться местами, а в твёрдом теле колеблются около положений равновесия. Тема связывает молекулярно-кинетическую теорию с механикой (законом Гука) и часто встречается на экзамене.

§1. Поверхностное натяжение

Молекулу внутри жидкости соседи притягивают со всех сторон одинаково, и равнодействующая равна нулю. Молекулу на поверхности притягивают только соседи сбоку и снизу — равнодействующая направлена внутрь жидкости. Поэтому поверхность стремится сократиться, то есть принять наименьшую площадь. При данном объёме наименьшую поверхность имеет шар, поэтому капля круглая, а водомерка бегает по воде, не проваливаясь.

Молекулы поверхности обладают по сравнению с внутренними дополнительной потенциальной энергией — поверхностной энергией. Чтобы увеличить поверхность на ΔS, нужно совершить работу:

Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности и перпендикулярно границе. Для воды σ ≈ 0,073 Н/м, для мыльной воды ~0,04 Н/м. Мыло и другие поверхностно-активные вещества уменьшают σ; с ростом температуры σ тоже уменьшается. В задачах с рамкой плёнка двусторонняя — l берут вдвое.

Пример

С какой силой мыльная плёнка (σ = 0,04 Н/м) действует на сторону рамки длиной 5 см?

1. У плёнки две поверхности: l = 2·0,05 = 0,1 м.
2. F = σ·l = 0,04·0,1 = 4·10⁻³ Н.

Пример

Из пипетки с внутренним диаметром 1 мм отрываются капли воды. Какова масса одной капли (g = 10 м/с²)?

1. В момент отрыва вес капли равен силе поверхностного натяжения: mg = σ·πd.
2. m = σπd/g = 0,073·3,14·10⁻³/10 ≈ 2,3·10⁻⁵ кг = 23 мг.

§2. Смачивание и капиллярность

Если молекулы жидкости притягиваются к молекулам твёрдого тела сильнее, чем друг к другу, жидкость растекается по поверхности — смачивает её; если слабее — собирается в каплю — не смачивает.

• Смачивающая жидкость (вода — стекло) в тонкой трубке (капилляре) поднимается, мениск вогнутый.
• Несмачивающая жидкость (ртуть — стекло) опускается, мениск выпуклый.

Причина подъёма: сила поверхностного натяжения σ·2πr вдоль границы мениска тянет столб жидкости вверх, пока не уравновесится его весом ρgπr²h. Отсюда (при полном смачивании):

Чем тоньше трубка, тем выше подъём (h ∝ 1/r). Подъём воды в растениях, впитывание влаги полотенцем и бумагой, подъём влаги в почве — капиллярные явления. Рыхление земли разрушает капилляры и уменьшает испарение влаги.

Пример

На какую высоту поднимется вода в стеклянной трубке радиусом 0,5 мм?

1. h = 2σ/(ρgr) = 2·0,073/(1000·10·0,5·10⁻³).
2. h = 0,146/5 ≈ 0,029 м ≈ 3 см.

§3. Кристаллические и аморфные тела

• В кристаллических телах (поваренная соль, металлы, лёд) атомы образуют упорядоченную повторяющуюся кристаллическую решётку. Они имеют определённую температуру плавления и часто анизотропны — их свойства (прочность, теплопроводность, оптические свойства) зависят от направления. Например, слюда легко расслаивается на тонкие листы в одном направлении.
• Монокристалл — один цельный кристалл; поликристалл (большинство металлов) — множество беспорядочно ориентированных мелких кристалликов, поэтому в целом он изотропен.
• Аморфные тела (стекло, смола, пластмасса) — атомы расположены беспорядочно, как в «застывшей жидкости»; определённой температуры плавления нет, при нагревании они постепенно размягчаются, изотропны.

Одно и то же вещество может быть в обоих состояниях: кварц — кристалл, а кварцевое стекло — аморфно.

§4. Деформация и закон Гука

Под действием внешней силы меняется форма или размер тела — деформация. Виды: растяжение и сжатие, сдвиг, изгиб, кручение. Деформацию, исчезающую после снятия силы, называют упругой, остающуюся — пластической (остаточной).

Механическое напряжение — сила, приходящаяся на единицу площади сечения; относительное удлинение — отношение удлинения к начальной длине:

Модуль Юнга — свойство материала, он не зависит от размеров тела; для стали E ≈ 2·10¹¹ Па. Если записать закон Гука как F = kΔl, жёсткость стержня k = ES/l₀. При росте напряжения сначала достигается предел пропорциональности, затем предел упругости — после него деформация остаётся; при пределе прочности тело разрушается. Конструкции рассчитывают с запасом прочности: рабочее напряжение берут в несколько раз меньше предела прочности.

Пример

К стальной проволоке длиной 2 м и сечением 1 мм² подвесили груз весом 100 Н (E = 2·10¹¹ Па). Каково удлинение?

1. σ = F/S = 100/10⁻⁶ = 10⁸ Па.
2. ε = σ/E = 10⁸/(2·10¹¹) = 5·10⁻⁴.
3. Δl = εl₀ = 5·10⁻⁴·2 = 10⁻³ м = 1 мм.

Пример

Какова жёсткость этой проволоки?

1. k = ES/l₀ = 2·10¹¹·10⁻⁶/2.
2. k = 10⁵ Н/м — проверка: Δl = F/k = 100/10⁵ = 1 мм.

§5. Тепловое расширение

При нагревании растёт амплитуда колебаний атомов и среднее расстояние между ними — тело расширяется.

α — коэффициент линейного расширения (К⁻¹); для стали α ≈ 1,2·10⁻⁵ К⁻¹. Поэтому между рельсами оставляют зазоры, мосты ставят на подвижные опоры, а провода летом провисают. Биметаллическая пластинка (из двух разных металлов) при нагревании изгибается — её используют в термостатах и автоматических выключателях.

Вода — исключение: при нагревании от 0 °C до 4 °C она сжимается — при 4 °C её плотность наибольшая, поэтому зимой у дна озера вода остаётся при 4 °C, а лёд плавает сверху, и озеро не промерзает до дна.

Пример

Стальной рельс длиной 12,5 м (α = 1,2·10⁻⁵ К⁻¹) от зимы к лету нагревается на 50 К. Какой нужен зазор?

1. Δl = αl₀Δt = 1,2·10⁻⁵·12,5·50.
2. Δl = 7,5·10⁻³ м = 7,5 мм.

Проверьте себя

1. Какая сила действует со стороны мыльной плёнки (σ = 0,04 Н/м) на рамку длиной 5 см?

2. Радиус капилляра уменьшили в 2 раза. Как изменится высота подъёма?

3. Как ведёт себя ртуть в стеклянном капилляре?

4. Сечение проволоки увеличили в 2 раза при той же силе. Как изменится механическое напряжение?

5. Стекло — кристаллическое или аморфное тело?

6. На сколько удлинится стальной мост длиной 100 м (α = 1,2·10⁻⁵ К⁻¹) при нагревании на 60 К?

7. Проволока длиной 1 м и сечением 2 мм² удлиняется на 1 мм под силой 400 Н. Каков модуль Юнга?

8. При какой температуре плотность воды наибольшая?

Типичные ошибки

• Забывать, что мыльная плёнка двусторонняя.
• Подставлять в формулу капилляра диаметр вместо радиуса.
• Ошибаться при переводе мм² в м² (1 мм² = 10⁻⁶ м²).
• Думать, что в капилляре поднимаются все жидкости.
• Считать модуль Юнга зависящим от длины или сечения тела: он зависит только от материала.
• Принимать коэффициент объёмного расширения равным линейному (β ≈ 3α).