Механические колебания и волны

Колебание — движение, точно или приблизительно повторяющееся во времени: маятник часов, груз на пружине, рессора автомобиля, биение сердца, гитарная струна. Если колебание распространяется в среде, возникает волна. Формулы колебаний одинаково выглядят в механике, акустике и электротехнике, поэтому эта тема — основа для звука, переменного тока, электромагнитных колебаний и волн.

§1. Величины, описывающие колебание

Для колебаний нужны две вещи: сила, возвращающая тело к положению равновесия, и инертность (тело проскакивает положение равновесия).

• Амплитуда A — наибольшее отклонение от положения равновесия (м).
• Период T — время одного полного колебания (с): T = t/N.
• Частота ν = 1/T = N/t — число колебаний в секунду (Гц).
• Циклическая частота ω = 2πν = 2π/T (рад/с).
• Фаза ωt + φ₀ показывает состояние колебания в данный момент; φ₀ — начальная фаза.

За одно полное колебание тело проходит путь 4A: от равновесия к краю, обратно к равновесию, к другому краю и снова к равновесию.

§2. Гармонические колебания

Важнейший случай — гармоническое колебание: координата меняется по закону синуса или косинуса.

• Скорость наибольшая в положении равновесия (v_max = Aω) и равна нулю в крайних точках.
• Ускорение, наоборот, наибольшее в крайних точках (a_max = Aω²) и равно нулю в равновесии; оно всегда направлено к положению равновесия.
• a = −ω²x — «отпечаток пальца» гармонического колебания: ускорение пропорционально смещению и противоположно ему.

Пример

Тело колеблется по закону x = 0,05·cos(10t) (м). Найдите амплитуду, период, наибольшие скорость и ускорение.

1. Из уравнения: A = 0,05 м, ω = 10 рад/с.
2. T = 2π/ω = 6,28/10 ≈ 0,63 с.
3. v_max = Aω = 0,05·10 = 0,5 м/с, a_max = Aω² = 0,05·100 = 5 м/с².

§3. Пружинный маятник

Если груз на пружине сместить на x, на него действует возвращающая сила F = −kx (закон Гука). Из второго закона Ньютона ma = −kx, то есть a = −(k/m)x — это гармоническое колебание с ω² = k/m:

• Период не зависит от амплитуды и от g: пружинный маятник одинаково колеблется и на Луне, и в космическом корабле.
• Если массу увеличить в 4 раза, период вырастет в 2 раза; если жёсткость увеличить в 4 раза, период уменьшится в 2 раза.
• У вертикальной пружины сила тяжести лишь смещает положение равновесия на Δl = mg/k и не влияет на период; отсюда удобная формула T = 2π√(Δl/g).

§4. Математический маятник

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити. При малых отклонениях (примерно до 10°) возвращающая сила равна −mg·x/l, и колебание гармоническое:

• Период не зависит от массы, а зависит только от длины нити и g; при малых отклонениях он не зависит и от амплитуды (изохронность, открытая Галилеем).
• Маятник с периодом 2 с имеет длину около 1 м — такие маятники стоят в старых настенных часах.
• В лифте с ускорением: вверх — g_эф = g + a, вниз — g − a; на другой планете меняется g.

С помощью маятника можно точно измерить g: g = 4π²l/T². Физический маятник (любое твёрдое тело, например качающаяся линейка или нога человека) тоже колеблется, но его период зависит от формы тела.

Пример

Маятник длиной 0,5 м перенесли на планету, масса и радиус которой в 2 раза больше земных. Там он находится в лифте, поднимающемся с ускорением 5 м/с². Каков период?

1. На планете g′ = g·M′R²/(MR′²) = 10·2/2² = 5 м/с².
2. В лифте g_эф = 5 + 5 = 10 м/с².
3. T = 2π√(0,5/10) = 2π·0,224 ≈ 1,4 с.

§5. Энергия, затухание и резонанс

При гармоническом колебании потенциальная и кинетическая энергии переходят друг в друга, а полная энергия сохраняется:

В крайней точке вся энергия потенциальная, в положении равновесия — кинетическая.

• Свободные колебания — система предоставлена сама себе; их частота — собственная частота.
• Затухающие колебания — из-за трения и сопротивления воздуха энергия убывает, амплитуда уменьшается.
• Вынужденные колебания — под действием периодической внешней силы; система колеблется с частотой внешней силы.
• Резонанс — резкий рост амплитуды, когда частота внешней силы совпадает с собственной. Поэтому солдатам запрещают идти по мосту в ногу, а машины и здания рассчитывают на вибрации; музыкальные инструменты и радиоприёмник, наоборот, используют резонанс с пользой.

Пример

Груз массой 0,5 кг на пружине жёсткостью 100 Н/м колеблется с амплитудой 10 см. Найдите полную энергию и наибольшую скорость.

1. E = kA²/2 = 100·0,1²/2 = 0,5 Дж.
2. mv_max²/2 = E → v_max = √(2E/m) = √(2·0,5/0,5) = √2 ≈ 1,41 м/с.

§6. Механические волны

Волна — распространение колебаний в упругой среде: каждая частица раскачивает соседнюю. Волна переносит энергию, но не вещество — поплавок на воде не уплывает с волной, а колеблется на месте.

• Поперечная волна: частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения (волна на шнуре, на поверхности воды). Внутри вещества распространяется только в твёрдых телах, так как нужна деформация сдвига.
• Продольная волна: частицы колеблются вдоль направления распространения, образуя сжатия и разрежения (звук). Распространяется в любых средах.

Длина волны λ — расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе (между двумя соседними гребнями или сжатиями), то есть путь, который волна проходит за один период.
Скорость волны зависит от свойств среды, а частота — от источника; поэтому при переходе в другую среду частота не меняется, а длина волны меняется. Волны отражаются от препятствий (эхо), складываясь, усиливают или ослабляют друг друга (интерференция) и огибают препятствия (дифракция).

Пример

Расстояние между 1-м и 3-м гребнями волны 20 см, скорость волны 0,1 м/с. Каков период?

1. Между 1-м и 3-м гребнями две длины волны: 2λ = 0,2 м → λ = 0,1 м.
2. T = λ/v = 0,1/0,1 = 1 с.

Проверьте себя

1. Тело совершило 20 колебаний за 10 с. Период и частота?

2. Нить маятника удлинили в 4 раза. Во сколько раз изменится период?

3. Массу груза на пружине увеличили в 4 раза. Во сколько раз изменится частота?

4. Груз 0,4 кг на пружине жёсткостью 40 Н/м. Период?

5. Волна с частотой 5 Гц распространяется со скоростью 2 м/с. Длина волны?

6. Амплитуда 5 см, ω = 10 рад/с. Наибольшая скорость?

7. Длина математического маятника с периодом 2 с (g = 10 м/с²)?

8. Какой путь проходит за одно полное колебание тело с амплитудой 3 см?

Типичные ошибки

• Думать, что период математического маятника зависит от массы.
• Принимать расстояние между 1-м и 3-м гребнями за одну λ.
• Подставлять g в период пружинного маятника.
• Считать, что волна переносит вещество: она переносит только энергию.
• Брать путь за период равным 2A: правильно 4A.